§ 8 复系数与实系数多项式的因式分解
以上我们讨论了在一般数域上多项式的因式分解问题，现在来看一下在复数域与实数域上多项式的因式分解。复数域与实数域既然都是数域，因此前面所得的结论对它们也是成立的。但是这两个数域又有它们的特殊性，所以某些结论就可以进一步具体化。
对于复数域，我们有下面重要的定理：
代数基本定理
每个次数 ⩾1\geqslant 1⩾1 的复系数多项式在复数域中有一根。
这个定理首先是由高斯 (Gauss) 于 1797 年首先证明的。由于当时代数学研究的主要对象为多项式理论，这个定理是关于多项式理论的非常有用、非常基本的结论，因而被命名成代数基本定理。它有多个证明（例如高斯就给出过四个证明），都很复杂，并且或多或少地用到数学分析等其他领域的结论，这里我们不介绍它的证明。将来学过复变函数论后可以很简单地证明，本书附录三中给出利用数学分析性质的较简短的证明。
利用根与一次因式的关系（本章 §7 定理 7 的推论），代数基本定理显然可以等价地叙述为：
每个次数 ⩾1\geqslant 1⩾1 的复系数多项式，在复数域上一定有一个一次因式。
由此可知，在复数域上所有次数大于 1 的多项式全是可约的。换句话说，不可约多项式只有一次多项式。于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成：
复系数多项式因式分解定理
每个次数 ⩾1\geqslant 1⩾1 的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积。
因此，复系数多项式具有标准分解式：
f(x)=an(x−α1)t1(x−α2)t2⋯(x−αs)ts
f(x) = a_n \left(x - \alpha_1 \right)^{t_1} \left(x - \alpha_2 \right)^{t_2} \cdots \left(x - \alpha_s \right)^{t_s}
f(x)=an(x−α1)t1(x−α2)t2⋯(x−αs)ts
其中 α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_sα1,α2,⋯,αs 是 f(x)f(x)f(x) 的不同复根，t1,t2,⋯ ,tst_1, t_2, \cdots, t_st1,t2,⋯,ts 是它们的重数，且 t1+t2+⋯+ts=nt_1 + t_2 + \cdots + t_s = nt1+t2+⋯+ts=n。这就是说，nnn 次复系数多项式恰有 nnn 个复根（重根按重数计算）。
实系数多项式的分解
对于实系数多项式，以下的事实是基本的：如果 α\alphaα 是实系数多项式 f(x)f(x)f(x) 的复根，那么 α\alphaα 的共轭数 αˉ\bar{\alpha}αˉ 也是 f(x)f(x)f(x) 的根。
因为设：
f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a0
f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0
f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a0
其中 a0,a1,⋯ ,ana_0, a_1, \cdots, a_na0,a1,⋯,an 是实数。由假设：
f(α)=anαn+an−1αn−1+⋯+a0=0
f(\alpha) = a_n \alpha^n + a_{n-1} \alpha^{n-1} + \cdots + a_0 = 0
f(α)=anαn+an−1αn−1+⋯+a0=0
两边取共轭数，有：
0=f(α)‾=anαˉn+an−1αˉn−1+⋯+a0=f(αˉ)
0 = \overline{f(\alpha)} = a_n \bar{\alpha}^n + a_{n-1} \bar{\alpha}^{n-1} + \cdots + a_0 = f(\bar{\alpha})
0=f(α)=anαˉn+an−1αˉn−1+⋯+a0=f(αˉ)
这就是说，f(αˉ)=0f(\bar{\alpha}) = 0f(αˉ)=0，αˉ\bar{\alpha}αˉ 也是 f(x)f(x)f(x) 的根。
由此可以证明：
实系数多项式因式分解定理
每个次数 ⩾1\geqslant 1⩾1 的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积。
证明
定理对一次多项式显然成立。
假设定理对次数 f(x)=(x−α)f1(x) f(x) = (x - \alpha) f_1(x) f(x)=(x−α)f1(x) 其中 f1(x)f_1(x)f1(x) 是 n−1n - 1n−1 次实系数多项式。如果 α\alphaα 不是实数，那么 αˉ\bar{\alpha}αˉ 也是 f(x)f(x)f(x) 的根且 αˉ≠α\bar{\alpha} \neq \alphaαˉ=α。于是： f(x)=(x−α)(x−αˉ)f2(x) f(x) = (x - \alpha)(x - \bar{\alpha}) f_2(x) f(x)=(x−α)(x−αˉ)f2(x) 显然： (x−α)(x−αˉ)=x2−(α+αˉ)x+ααˉ (x - \alpha)(x - \bar{\alpha}) = x^2 - (\alpha + \bar{\alpha})x + \alpha \bar{\alpha} (x−α)(x−αˉ)=x2−(α+αˉ)x+ααˉ 是实系数二次不可约多项式。从而 f2(x)f_2(x)f2(x) 是 n−2n - 2n−2 次实系数多项式。由归纳假设，f1(x)f_1(x)f1(x) 或 f2(x)f_2(x)f2(x) 可以分解成一次与二次不可约多项式的乘积，因之 f(x)f(x)f(x) 也可以如此分解。 因此，实系数多项式具有标准分解式： f(x)=an(x−c1)l1⋯(x−cs)ls(x2+p1x+q1)k1⋯(x2+prx+qr)kr f(x) = a_n \left(x - c_1 \right)^{l_1} \cdots \left(x - c_s \right)^{l_s} \left(x^2 + p_1 x + q_1 \right)^{k_1} \cdots \left(x^2 + p_r x + q_r \right)^{k_r} f(x)=an(x−c1)l1⋯(x−cs)ls(x2+p1x+q1)k1⋯(x2+prx+qr)kr 其中 c1,⋯ ,cs,p1,⋯ ,pr,q1,⋯ ,qrc_1, \cdots, c_s, p_1, \cdots, p_r, q_1, \cdots, q_rc1,⋯,cs,p1,⋯,pr,q1,⋯,qr 全是实数，l1,⋯ ,ls,k1,⋯ ,krl_1, \cdots, l_s, k_1, \cdots, k_rl1,⋯,ls,k1,⋯,kr 是正整数，并且 x2+pix+qi (i=1,2,⋯ ,r)x^2 + p_i x + q_i \ (i = 1, 2, \cdots, r)x2+pix+qi (i=1,2,⋯,r) 是不可约的，也就是适合条件 pi2−4qi<0 (i=1,2,⋯ ,r)p_i^2 - 4 q_i < 0 \, (i = 1, 2, \cdots, r)pi2−4qi<0(i=1,2,⋯,r)。 代数基本定理虽然肯定了 nnn 次方程有 nnn 个复根，但是并没有给出根的一个具体的求法。高次方程求根的问题还远远没有解决。特别是在应用方面，方程求根是一个重要的问题，这个问题是相当复杂的，它构成了计算数学的一个分支，在这里我们就不讨论了。 § 8 复系数与实系数多项式的因式分解 以上我们讨论了在一般数域上多项式的因式分解问题, 现在来看一下在复数域与实数域上多项式的因式分解.复数域与实数域既然都是数域, 因此前面所得的结论对它们也是成立的. 但是这两个数域又有它们的特殊性, 所以某些结论就可以进一步具体化. 对于复数域,我们有下面重要的定理： 代数基本定理 每个次数 ⩾1\geqslant 1⩾1 的复系数多项式在复数域中有一根. 这个定理首先是由高斯(Gauss)于 1797 年首先证明的.由于当时代数学研究的主要对象为多项式理论, 这个定理是关于多项式理论的非常有用、非常基本的结论, 因而被命名成代数基本定理. 它有多个证明(例如高斯就给出过四个证明), 都很复杂, 并且或多或少地用到数学分析等其他领域的结论, 这里我们不介绍它的证明. 将来学过复变函数论后可以很简单地证明, 本书附录三中给出利用数学分析性质的较简挺的证明. 利用根与一次因式的关系 (本章 87 定理 7 的推论), 代数基本定理显然可以等价地叙述为 每个次数 ⩾1\geqslant 1⩾1 的复系数多项式,在复数域上二定有一个一次因式. 由此可知,在复数域上所有次数大于 1 的多项式全是可约的. 换句话说,不可约多项式只有一次多项式.于是, 因式分解定理在复数域上可以叙述成 复系数多项式因式分解定理 每个次数 ⩾1\geqslant 1⩾1 的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积. 因此,夏系数多项式具有标准分解式 f(x)=an(x−α1)t1(x−α2)t2⋯(x−α4)t3,f(x)=a_{n}\left(x-\alpha_{1}\right)^{t_{1}}\left(x-\alpha_{2}\right)^{t_{2} \cdots\left(x-\alpha_{4}\right)^{t_{3}},}f(x)=an(x−α1)t1(x−α2)t2⋯(x−α4)t3, {width=“648px”} 系数多项式恰有 nnn 个复根 (重根按重数计算). 下面来讨论实系数多项式的分解. 对于实系数多项式, 以下的事实是基本的: 如果 α\alphaα 是实系数多项式 f(x)f(x)f(x) 的复根,那么 α\alphaα 的共轮数 αˉ\bar{\alpha}αˉ 也是 f(x)f(x)f(x) 的根. 因为设 f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a0,f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{0},f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a0, 其中 a0,a1,⋯ ,ana_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n}a0,a1,⋯,an 是实数.由假设 f(α)=anαn+an−1αn−1+⋯+a0=0.f(\alpha)=a_{n} \alpha^{n}+a_{n-1} \alpha^{n-1}+\cdots+a_{0}=0 .f(α)=anαn+an−1αn−1+⋯+a0=0. 两边取共钬数, 有 0=f(α)‾=anαˉn+an−1αˉn−1+⋯+a0=f(αˉ),0=\overline{f(\alpha)}=a_{n} \bar{\alpha}^{n}+a_{n-1} \bar{\alpha}^{n-1}+\cdots+a_{0}=f(\bar{\alpha}),0=f(α)=anαˉn+an−1αˉn−1+⋯+a0=f(αˉ), 这就是说, f(αˉ)=0,αˉf(\bar{\alpha})=0, \bar{\alpha}f(αˉ)=0,αˉ 也是 f(x)f(x)f(x) 的根. 由此可以证明 实系数多项式因式分解定理 每个次数 ⩾1\geqslant 1⩾1 的实系数多项式在实数域上都可以唯 一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积. 证明 定理对一次多项式显然成立. 假设定理对次数 设 f(x)f(x)f(x) 是 nnn 次实系数多项式. 由代数基本定理, f(x)f(x)f(x) 有一复根 α\alphaα. 如果 α\alphaα 是实数,那么 f(x)=(x−α)f1(x),f(x)=(x-\alpha) f_{1}(x),f(x)=(x−α)f1(x), 其中 f1(x)f_{1}(x)f1(x) 是 n−1n-1n−1 次实系数多项式. 如果 α\alphaα 不是实数, 那么 αˉ\bar{\alpha}αˉ 也是 f(x)f(x)f(x) 的根且 αˉ≠α\bar{\alpha} \neq \alphaαˉ=α.于是 f(x)=(x−α)(x−αˉ)f2(x).f(x)=(x-\alpha)(x-\bar{\alpha}) f_{2}(x) .f(x)=(x−α)(x−αˉ)f2(x). 显然 (x−α)(x−αˉ)=x2−(α+αˉ)x+ααˉ(x-\alpha)(x-\bar{\alpha})=x^{2}-(\alpha+\bar{\alpha}) x+\alpha \bar{\alpha}(x−α)(x−αˉ)=x2−(α+αˉ)x+ααˉ 是一实系数二次不可约多项式. 从而 f2(x)f_{2}(x)f2(x) 是 n−2n-2n−2次实系数多项式.由归纳假设, f1(x)f_{1}(x)f1(x) 或 f2(x)f_{2}(x)f2(x) 可以分解成一次与二次不可约多项式的乘积,因之 f(x)f(x)f(x) 也可以如此分解. 因此,实系数多项式具有标准分解式 f(x)=an(x−c1)t4⋯(x−cs)t∗(x2+p1x+q1)k1⋯(x2+prx+qr)kn,f(x)=a_{n}\left(x-c_{1}\right)^{t_{4}} \cdots\left(x-c_{s}\right)^{t_{*}}\left(x^{2}+p_{1} x+q_{1}\right)^{k_{1}} \cdots\left(x^{2}+p_{r} x+q_{r}\right)^{k_{n}},f(x)=an(x−c1)t4⋯(x−cs)t∗(x2+p1x+q1)k1⋯(x2+prx+qr)kn, 其中 c1,⋯ ,c1,p1,⋯ ,pr,q1,⋯ ,qc_{1}, \cdots, c_{1}, p_{1}, \cdots, p_{r}, q_{1}, \cdots, qc1,⋯,c1,p1,⋯,pr,q1,⋯,q, 全是实数, l1,⋯ ,ls,k1,⋯ ,kl_{1}, \cdots, l_{s}, k_{1}, \cdots, kl1,⋯,ls,k1,⋯,k, 是正整数, 并且 x2+pix+x^{2}+p_{i} x+x2+pix+ qi(i=1,2,⋯ ,r)q_{i}(i=1,2, \cdots, r)qi(i=1,2,⋯,r) 是不可约的, 也就是适合条件 pi2−4qi<0,i=1,2,⋯ ,rp_{i}^{2}-4 q_{i}<0, i=1,2, \cdots, rpi2−4qi<0,i=1,2,⋯,r. 代数基本定理虽然肯定了 nnn 次方程有 nnn 个复根, 但是并没有给出根的一个具体的求法.高次方程求根的问题还远远没有解决.特别是在应用方面,方程求根是一个重要的问题,这个问题是相当复杂的, 它构成了计算数学的一个分支,在这里我们就不讨论了.